Eine Kategorie besteht aus zwei Teilen: zu dem einen eine Klasse von Objekten und zu dem anderen eine Klasse von Pfeilen (oder Morphismen) zwischen diesen Objekten. Die Morphismen müssen verknüpfbar sein, und die Verknüpfung muss assoziativ sein. Es gibt noch ein paar weitere weniger starke Bedingungen, darum hier die ganz exakte Definition (Verknüpfung von Morphismen ist in dem folgenden durch den "Kringel" dargestellt):

1. Zu jedem Morphismus f gibt es zwei Objekte, die Quelle oder Domain, dom(f), und die Absicht (Codomain), cod(f) (können zusammenfallen).
2. Zu jedem Objekt A gibt es (genau) einen Morphismus id(A) dessen Quelle und Absicht gleich A ist und der neutral bezüglich der Komposition ist: (Identität)
3. Komposition: Zu jedem Paar von Morphismus f,g mit cod(f) = dom(g) gibt es (genau) einen Morphismus mit
   1. dom(h) = dom(f) und cod(h) = cod(g)
   2. Die Komposition ist assoziativ, d.h., soweit definiert, gilt .
4. Für je zwei Objekte A und B ist die Klasse der Morphismen von A nach B eine Menge.

Beispiele für Kategorien sind:

• ist die Kategorie mit Mengen als Objekten und Abbildungen als Morphismen.

• , die Kategorie der topologischen Räume (Objekte) mit den stetigen Abbildungen (Morphismen). Eine wichtige Unterkategorie ist , die Kategorie der Hausdorffräume mit stetigen Abbildungen.

• , die Kategorie der Gruppen mit den Gruppenhomomorphismen

• , die Kategorie der normierten linearen Räume mit den stetigen (=beschränkten) linearen Abbildungen. Unterkategorien sind z.B.: die Banachräume mit stetigen linearen Abbildungen, , die Banachräume mit stetigen normreduzierenden Abbildungen und , kommutative komplexe Banachalgebren mit Einheit und normreduzierenden Algebrenhomomorphismen.

• Jeder Graph läßt sich durch eine Menge X (Knoten) und eine (reflexive) Relation R (Kanten) beschreiben. Indem man die Knoten als Objekte und die Kanten als Morphismen definiert (Verknüpfung "pfadweise"), erhält man aus jedem Graphen eine Kategorie.

• Eine Menge mit einer Halbordnung bildet eine Kategorie: Objekte sind die Elemente der Menge, ein Morphismus existiere exakt dann, wenn .

Ein Kernbegriff der Kategorientheorie ist die Isomorphie. Ein Morphismus heißt Isomorphismus, wenn er eine linke und eine rechte Inverse besitzt. Zwei Objekte heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Diese sehr allgemeine Definition ist konsistent mit allen anderen Definitionen von Isomorphismen in anderen Bereichen der Mathematik.

Bei der Behandlung von Kategorien sucht man häufig nach Merkmale, die von Isomorphismen erhalten werden, so genannte "Invarianten". Beispiele für Invarianten in sind Abzählbarkeits Merkmale (1. bzw. 2. Abzählbarkeitsaxiom), Trennungs Merkmale (T₀,T₁, Hausdorff, regulär, vollständig regulär, normal), Zusammenhangs Merkmale (zusammenhängend, pfadzusammenhängend) und Kompaktheit. Ein Beispiel für eine Invariante in ist "enthält einen zu dem Hilbertraum isomorphen Unterraum". Eine Invariante in ist z.B. das Spektrum eines Elements.

Von Interesse sind auch Techniken zu dem Nachweis der Isomorphie. Es gilt in jeder Kategorie: T ist Isomorphismus exakt dann wenn eine (und damit alle) der folgenden Bedingungen erfüllt ist.

• T ist Monomorphismus und extremaler Epimorphimus
• T ist Epimorphismus und extremaler Monomorphismus
• T ist Monomorphismus und Retraktion
• T ist Epimorphismus und Schnitt

Zu jeder Kategorie Kat läßt sich wie folgt eine entgegengesetzte Kategorie coKat zuordnen:

• Die Objekte von coKat sind die Objekte von Kat
• Die Morphismen von zweier Objekte A,B von coKat sind die Morphismen aus der Kategorie Kat.
• Die Komposition zweier Morphismen f,g aus coKat ist definiert durch die Komposition in Kat.

Die entgegengesetzte Kategorie von zeigt, dass es Kategorien gibt, deren Objekte auf Mengen basieren, deren Morphismen jedoch keine Funktionen sein müssen.

Viele kategorientheoretische Begriffe erlangen eine entgegengesetzte Bedeutung, indem man den Begriff in der entgegengesetzten Kategorie betrachtet. So ist jeder Epimorphismus ein Monomorphismus in der entgegengesetzten Kategorie. Weitere Begriffspaare sind:

• Produkt <--> direkte Summe (=Coprodukt)
• final <--> initial
• Kernel <--> Cokernel
• Schnitt <--> Retraktion
• Isomorphismus ist ein "selbst-entgegengesetzter" Begriff.

Aus Gründen der Übersichtlichkeit und Systematik wird für den entgegengesetzten Begriff häufig die Vorsilbe co- benutzt.

Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Objekte eine Menge ist. Mittels der kleinen Kategorien ist die Kategorie erklärt: Die Objekte sind die Klasse der kleinen Kategorien und die Morphismen sind die Funktoren. Ein Funktor F ordnet jedem Objekt der einen Kategorie ein Objekt der anderen Kategorie zu und zudem ordnet der Funktor jedem Morphismus der einen Kategorie einen Morphismus der anderen Kategorie zu, wobei die Struktur der Verknüpfung erhalten werden muss:

Die Beschränkung auf kleine Kategorien ist nötig, um Paradoxien aufzulösen, die beim Betrachten von Klassen von Klassen auftreten können.

Von Interesse sind auch in der Kategorie die Strukturen, die von den Funktoren respektiert werden. Jeder Funktor erhält Identitäten, Isomorphismen, Schnitte und Retraktionen.

Ein Beispiel: Durch , wo jeder Menge A die Menge zugeordnet und jeder Funktion die Funktion Bin(f)(a,a'): = (f(a),f(a')) zugeordnet wird, wird der Binär-Funktor definiert. Er repräsentiert eine Struktur der Objekte, die diese haben können, nämlich Paare. Da in der Kategorientheorie von der konkreten Struktur der Objekte abstrahiert wird, sind Funktoren ein Werkzeug, um Objekten eine Struktur zu verschaffen.

Es ist auch möglich -- und aus historischer Sicht wurde die Kategorientheorie zu dem Studium solcher Situationen entwickelt -- mittels der Funktoren zwischen zwei Kategorien eine Kategorie zu definieren:

Als Objekte nimmt man die Funktoren zwischen zwei Kategorien KatA und KatB. Ein Morphismus zwischen zwei Funktoren F und G ist eine Funktion mit folgenden Merkmalen:

1. Jedem Objekt A aus KatA wird ein Morphismus a(A) von F(A) nach G(A) zugeordnet.
2. Für jeden Morphismus aus KatA gilt:

Die so definierten Morphismen heißen natürliche Transformationen oder Funktor-Morphismen. Die Verknüpfung zweier solcher natürlicher Transformationen a,b kann man durch Verknüpfung der Funktionen definieren, eine andere Verknüpfung ist aber auch denkbar.

Wenn wir wie oben Funktoren als Werkzeug zu dem Definieren von Strukturen betrachten, dann ist ein natürliche Transformation zu sehen als eine Umformung der Struktur. Die obige zweite Bedingung legt dabei die Bedingung an diese Umformung fest: "Das Umformen der Struktur muss verträglich sein mit der Anwendung von Morphismen auf die unterliegenden Objekte".

Ein Beispiel für eine natürliche Transformation ist (Bin ist der binäre Funktor auf , siehe vorigen Abschnitt). Diese Transformation ist so definiert: Für jede Menge A definieren wir einen Morphismus swap(A) auf durch f(a,a'): = (a',a).

Zentrale Studienobjekte der Kategorientheorie und deren Anwendungen sind die Adjunktionen. Dabei geht es um folgende häufig auftretende Problemstellung: Gegeben sei ein Funktor F von der Kategorie KatA in die Kategorie KatB und ein Objekt B aus KatB. Gesucht ist ein "Urbild" von B, also ein Objekt A aus KatA, dessen Bild F(A) das Objekt B "bestmöglich approximiert" im Sinne, dass es ein Morphismus gibt, so dass jeder KatB-Morphismus sich eindeutig darstellen läßt durch , wobei ein KatA-Morphismus ist. Die Zuordnung , ist wiederum ein Funktor, genannt die rechte Adjungierte von F. Ein paar Beispiele:

• KatA sei die Menge der natürlichen Zahlen. Zwischen zwei Objekten m und n (d.h. zwischen zwei natürlichen Zahlen) bestehe ein Morphismus, wenn . KatB sei die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen mit den exakt wie in KatA definierten Morphismen. Wir betrachten den Einbettungsfunktor , der jeder natürlichen Zahlen die entsprechende reelle Zahl zuordnet. Die rechte Adjungierte ist gegeben durch die Abrunden-Funktion , es gilt

Diese Art Adjunktion wird auch Galois-Verbindung genannt. Sie erlaubt z.B. einen eleganten Beweis der Gleichung (Tipp zu dem Nachrechnen: Es gilt m = n exakt dann, wenn für alle k gilt: )

• Sei KatA die Kategorie der kompakten Hausdorffräume (mit stetigen Funktionen) und KatB die Kategorie der topologischen Räume (mit stetigen Funktionen). F sei wie in dem vorigen Beispiel der Einbettungsfunktor. Die rechte Adjungierte trägt den Namen Stone-Cech-Kompaktifizierung, sie macht aus jedem beliebigen topologischen Raum einen kompakten Hausdorffraum.

• Es sei KatA die Kategorie der vollständigen metrischen Räume (mit stetigen Funktionen) und KatB die Kategorie der metrischen Räume (mit stetigen Funktionen). Die rechte Adjungierte zu dem Einbettungsfunktor beschreibt die Vervollständigung des metrischen Raumes; sie ordnet z.B. den rationalen Zahlen die reellen Zahlen zu.

Es gibt noch viele weitere wichtige Beispiele; in diesem Artikel ist weiter unten noch die rechte Adjungierte zu dem Produkt-Funktor beschrieben.

Hier noch die formale Definition von Adjunktion:

Seien Funktoren, dann heißt G linke Adjungierte zu G und F heißt rechte Adjungierte zu F, falls es zwei natürliche Transformation gibt mit

• für jedes Objekt
• für jedes Objekt

Das Tupel (F,G,φ,η) heißt Adjunktion.

Zu Adjunktionen siehe auch den weiterführendie Beschreibung in der englischen Library .

Die Kategorientheorie versucht, Strukturen und Konzepte einzelner mathematischer Teildisziplinen ca. mit Objekten und Morphismen auszudrücken. Die dabei entstehenden verallgemeinerten Begriffe sind universal, d.h. für eine Vielzahl von Kategorien verfügbar. Ein Hauptwerkzeug für die Definition universaler Konstrukte sind Grenzwerte und coGrenzwerte. In diesem Artikel gehen wir auf diese jedoch nicht ein, sondern beschränken uns auf die wichtigsten Konstruktionen.

Ein Produkt einer Familie {A_i : i aus I} von Objekten ist in der Kategorientheorie durch die eindeutige Existenz von Projektionen definiert.

Beispiele für Produkte sind in Set das kartesische Produkt, in Grp das direkte Produkt und in Top das topologische Produkt. Der dem Produkt entgegengesetzte Begriff ist Coprodukt; Beispiele hierfür sind in Set die disjunkte Vereinigung (d.h. die Vereinigung der Mengen { (a,i) : a aus A_i } über alle i aus I), in Grp die freien Produkte und in Top die topologische disjunkte Summe.

Falls es für jede endliche Familie von Objekten ein Produkt gibt, so sagt man, die Kategorie hat endliche Produkte. Falls es für jede Familie von Objekten einer kleinen Kategorie ein Produkt gibt, dann ist die Kategorie isomorph zu einem vollständigen Verband. Set, Top und Grp haben (beliebige) Produkte.

Falls in einer Kategorie mit endlichen Produkten jeder Produktfunktor - x X linksadjungiert ist, wenn also m.a.W. jedes X exponentiell ist, heißt die Kategorie kartesisch abgeschlossen. Manche sprechen auch von der Existenz natürlicher Funktionenräume. Top ist nicht kartesisch abgeschlossen, aber alle kompakt erzeugten topologischen Räume X sind es (d.h. alle Räume, die final bezüglich der Inklusionen der kompakten Teilmengen von X sind, insbesondere alle pseudometrischen und alle lokalkompakten Räume). Die exponentiellen Objekte in Top sind in Verallgemeinerung lokaler Kompaktheit als so genannte quasilokalkompakte Räume charakterisiert.

In kartesisch abgeschlossenen Kategorien wird häufig folgende Konstruktion benutzt. Zu einem Objekt X betrachtet man die Menge aller Morphismen von X in einen besonderen Raum Q. Häufig wird Q sehr einfach gewählt: in Set betrachtet man Q = {0,1}, in BanSp₁ wählt man häufig als Q die reellen Zahlen und in CBanAlg nimmt man die komplexen Zahlen. Der so entstandene Funktionenraum X ^* wird häufig Dualraum genannt. Der Funktor, der jedem Objekt X das X ^* zuordnet und jedem Morphismus f: X->Y den Morphismus f ^*: Y ^*->X ^* vermöge f ^*(l):= l o f zuordnet, wird dualer Funktor, adjungierter Funktor oder exponentieller Funktor genannt, wobei jeder dieser Namen auch eine andere Bedeutung hat.

Diese Konstruktion ermöglicht es, Fragen an ein Objekt X in Fragen an das Objekt X^* zu transformieren, die dann ab und zu leichter zu beantworten sind. Besonders komfortabel sind die reflexiven Objekte, wo (X^*)^*=X gilt.

pushbacks, pullouts,

Die Morphismen von X nach Y in einer Kategorie K bilden eine Menge, die man Mor(X,Y) oder K(X,Y) notiert. Sind alle Objekte und Morphismen einer Kategorie U auch Objekte bzw. Morphismen der Kategorie K, so bezeichnet man U eine Unterkategorie von K. Gilt für alle Objekte X, Y in U: U(X, Y) = K(X, Y) so heist die Unterkategorie voll. So ist die Kategorie der abelschen Gruppen eine volle Unterkategorie der Kategorie der Grupppen.==Anmerkungen==

Achtung: Der Begriff Kategorie kommt in der Mathematik noch einmal mit einer ganz anderen Bedeutung vor, nämlich in der Topologie (Mathematik) als Baire-Kategorie .

Die Kategorientheorie ist ein ähnlich allgemeiner Ansatz wie die universelle Algebra, freilich von ganz anderer Art.

Mathematical Subject Classification (2000): 18-XX (http://www.ams.org/msc/18-xx.html) (mit homologischer Algebra in 18Gxx)

Siehe auch: Homologische Algebra sowie Kategorie (Allgemeinbegriff) und Kategorie in der Philosophie

Klassische Lehrbücher sind:

• J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories (http://www.math.uni-bremen.de/~dmb/acc.pdf), John Wiley (1990)
• MacLane, Saunders: Kategorien : Begriffssprache und mathematische Theorie, Berlin, 1972, vii, 295 pp. -- (Categories for the Working Mathematician <1971, dt.>) vergriffen engl. Ausgabe ISBN 0-387-98403-8
• Herrlich, Horst; Strecker, George E.: Category Theory. An Introduction, Boston, 1973

Ein Nachschlagewerk ist:

• Borceux, Francis: Handbook of categorical algebra, 3 vol (1: Basic category theory; 2: Categories and structures; 3: Categories of sheaves). -- Cambridge, 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50/52) ISBN 0-521-44178-1, 0-521-44179-X, 0-521-44180-3

• Category theory, homological algebra im Mathematical Atlas (http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/18-XX.html)
• PlanetMath Ãœbersichtsartikel (engl.) (http://planetmath.org/encyclopedia/CategoryTheory.html)
• eine "freundliche Einführung" in die Kategorientheorie, die nur mit Beispielen aus der Algorithmik arbeitet (engl.) Postscript, 80S. (http://wwwhome.cs.utwente.nl/~fokkinga/mmf92b.html)
• categories, moderierte Liste von Kategorientheoretikern über Kategorientheorie (http://www.mta.ca/~cat-dist/categories.html)

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